“Yeah It’s on. ”
前言
基础概念：
3D向量(x,y,z)变换的处理方式如下：
旋转变换：乘法运算
缩放变换：乘法运算
平移变换：加法运算
加入齐次坐标(x,y,z,w)概念后，使得平移变换也能使用矩阵乘法。点w为1，向量w为0。
其中旋转缩放属于线性变化，平移为非线性。
仿射变换：先进行线性变换，再进行平移变换的变换称之为仿射变换。
如果矩阵第四行为[0,0,0,1]则为仿射矩阵。
3D游戏开发中常用MVP，其中M、V、MV都属于仿射矩阵。P不属于仿射矩阵。常用的矩阵求逆操作(如：求视图空间法线)多数为仿射矩阵求逆。
正交矩阵：矩阵中的任意两个行向量的乘积为0，矩阵中每一个行向量都是单位向量。
没有经过缩放的旋转矩阵就是一个正交矩阵。 其转置矩阵即为逆矩阵。
正文
仿射矩阵求逆:
3x3一般矩阵：
If cannot find inverse (det=0), set identity matrix
M^-1 = adj(M) / det(M)
| m4m8-m5m7 m5m6-m3m8 m3m7-m4m6 |
= | m7m2-m8m1 m0m8-m2m6 m6m1-m7m0 | / det(M)
| m1m5-m2m4 m2m3-m0m5 m0m4-m1m3 |
Matrix3& Matrix3::invert()
{
float determinant, invDeterminant;
float tmp[9];
tmp[0] = m[4] * m[8] - m[5] * m[7];
tmp[1] = m[7] * m[2] - m[8] * m[1];
tmp[2] = m[1] * m[5] - m[2] * m[4];
tmp[3] = m[5] * m[6] - m[3] * m[8];
tmp[4] = m[0] * m[8] - m[2] * m[6];
tmp[5] = m[2] * m[3] - m[0] * m[5];
tmp[6] = m[3] * m[7] - m[4] * m[6];
tmp[7] = m[6] * m[1] - m[7] * m[0];
tmp[8] = m[0] * m[4] - m[1] * m[3];
// check determinant if it is 0
determinant = m[0] * tmp[0] + m[1] * tmp[3] + m[2] * tmp[6];
if(fabs(determinant) <= EPSILON)
{
return identity(); // cannot inverse, make it idenety matrix
}
// divide by the determinant
invDeterminant = 1.0f / determinant;
m[0] = invDeterminant * tmp[0];
m[1] = invDeterminant * tmp[1];
m[2] = invDeterminant * tmp[2];
m[3] = invDeterminant * tmp[3];
m[4] = invDeterminant * tmp[4];
m[5] = invDeterminant * tmp[5];
m[6] = invDeterminant * tmp[6];
m[7] = invDeterminant * tmp[7];
m[8] = invDeterminant * tmp[8];
return *this;
}
4x4仿射矩阵:
M = [ R | T ]
[ –+– ] (R 表示 3x3 rotation/scale/shear matrix)
[ 0 | 1 ] (T 表示 1x3 translation matrix)
y = Mx -> y = Rx + T -> x = R^-1(y - T) -> x = R^-1y - R^-1*T
[ R | T ]-1 [ R^-1 | -R^-1 * T ]
[ –+– ] = [ —–+———- ]
[ 0 | 1 ] [ 0 + 1 ]
Matrix4& Matrix4::invertAffine()
{
// R^-1
Matrix3 r(m[0],m[1],m[2], m[4],m[5],m[6], m[8],m[9],m[10]);
r.invert();
m[0] = r[0]; m[1] = r[1]; m[2] = r[2];
m[4] = r[3]; m[5] = r[4]; m[6] = r[5];
m[8] = r[6]; m[9] = r[7]; m[10]= r[8];
// -R^-1 * T
float x = m[12];
float y = m[13];
float z = m[14];
m[12] = -(r[0] * x + r[3] * y + r[6] * z);
m[13] = -(r[1] * x + r[4] * y + r[7] * z);
m[14] = -(r[2] * x + r[5] * y + r[8] * z);
// last row should be unchanged (0,0,0,1)
//m[3] = m[7] = m[11] = 0.0f;
//m[15] = 1.0f;
return * this;
}
后记
容易混淆概念：线性变化、仿射变换、正交矩阵
